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29 thoughts on “【京大2012】緊急QUEST!受験生時代に解けなかった極限 | 関連するコンテンツをカバー極限 問題

  1. Y Y says:

    0<a<1 のときは (1+a^n )^(1/n) →1だって直感的に解いてました。
    底の部分と指数の部分が両方変化する場合はやっぱり一工夫要るか~
    本動画みたく挟み撃ちでもいいし、問題によっては対数とるのも効きますね。

    既に何名かコメントしてるように、a>1 のときには 1+a^n ≒ a^n だって考えて
    底の分母分子に a^n 掛けて変形して a・(1/a^n +1)^(1/n) って形にすれば、
    0<a<1 のときと同じ形の極限が出てきます。

  2. 3811 says:

    a>1の時は、lim[n→∞]a^nにとって+1なんて微々たる差で無視してもいいよねって考えれば解答自体は粗方予想がつきますよね
    そこから逆算して答案を作るのもありかなって思います

  3. まいあや says:

    概算ですぐaになりそうなことはわかって、はさみうちするのに最近やった対数の考えが生きた

  4. 濃すぎる煮干しラーメン says:

    (x^n+y^n)^(1/n)の極限を考える。
    M=max{x,y}(x,yのうち大きい方という意味)とする。
    このとき、
    M^n≦x^n+y^n≦M^n+M^n
    M≦(x^n+y^n)^(1/n)≦2^(1/n)M
    最左辺、最右辺ともに極限とるとMに近づくので、はさみうちの原理により求める極限はM
    つまりmax{x,y}
    この動画の問題では、x=1,y=aとすれば、max{1,a}つまり1とaの大きい方となります。

  5. かきのたね小豆味 says:

    1<aのときは、1がaⁿに比べてゴミだから(aⁿ)^1/n=aって概算はできるね
    答えがわかると不等式も考えやすいかも

  6. 常盤台ライフ says:

    普通に解けた!!!駿台数学偏差値38なのに!!!嬉しい!!(夏休み前なので今は全統では79でした)

  7. Kiichi Okada says:

    a^n < 1+a^n < a^n+a^n
    って不等式は思いつかんかったなぁ~
    まあ言われてしまえば、どうってことない自明な不等式って分かるんだけどね(笑)
    (これがいわゆる「コロンブスの卵」ってやつか)

  8. akki says:

    この形を見ると反射的に対数取って考えそうですけど、単に不等式評価で終わりなのね…

  9. says:

    高2の時の定期考査で出た問題だったのでビックリしました
    京大の過去問だったんですね

  10. 数学坂46 says:

    括弧の中は0<a<1の時は1に近い、a>1の時はa^n≫1に気づけば容易に答えの予想はつく。あとはちゃんと論証するだけ。

  11. かずまなぶ says:

    a>1の時は、lim[n→∞]a(1/aⁿ+1)^(1/n) と変形してから解くのがわかりやすいかなと思った。

    極限を考えるときは、発散する項があるとわかりづらいので、収束する項に変形できれば見通しが良くなる。

  12. 結数 / Yuz Channel says:

    1回解いてしまうとなんて事ないのに、初見ではびびってしまう問題ですね

  13. とある男N says:

    ⅰの場合わけで真ん中がn分の一乗ねなっていないところがありますがそればミスでしょうか
    はさみうちの所です

  14. 大トロ says:

    これ新数演にある有名な問題だよね。
    わしも1回目間違えた…1^∞になるか否かが大事!

  15. 多田晋也 says:

    対数を取ってから極限を考えると、発想なしにほぼ機械的に解けてしまいますよ。

  16. あーるちゃんねる says:

    これ本番で解けなかったアラサーですが、毎日動画観させてもらってます。

  17. かかかか says:

    つい一昨日友達から解いてみてって言われた問題だ笑笑一応初見で解けました!

  18. 合八一合のYouTube数学 says:

    備忘録65V" 〖 別解 〗
    【 { aⁿ } の極限は、 0 < a < 1, a=1, 1 < a の場合分けが 第1歩 】
    ( ⅰ ) a=1 のとき、 (与式)= 2^1/n → 2º= 1 ■
    ( ⅱ ) 0 < a < 1 のとき、 (与式)= { ( 1+aⁿ )^1/aⁿ }^aⁿ/n → eº= 1 ■
    ( ⅲ ) 1 < a のとき、 (与式)= a・( 1+1/aⁿ )^1/n
    = a・{ ( 1+1/aⁿ )^aⁿ }^1/aⁿ・n → a・eº= a ■

  19. smb2019 spoon-me-baby says:

    これはa>1とa=1と0<a<1で分けようね。
    主要項がどっちなのかさえ分かれば、こんなの京大受験生にとっては名前書くレベルでしょ?

  20. YGT says:

    a>1のとき、a^nを外に出して1+1/a^nを不等式評価してはさみうちの原理を使って最後にaをかけたら答えは合ってたけどこれで良いのかな?

  21. anti_simulacre えみ says:

    まだまだこういうの解けないな〜。今必死になって数III やっています。

  22. はだしのゲンちゃんΩ says:

    最初にどうにかしてeの形をつくりたくなって、難しくて実験をして、いつの間にか解けてる問題でした。

  23. りら says:

    特に数Ⅲ履修中とかだと、どうしてもネイピア数の定義が頭の中にチラついてしまいそうな一問。評価は難しくないが、非常に良い問題ですよね。

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