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29 thoughts on “【難問】大人でも解けない小学生の図形問題 | 最も完全な関連コンテンツの概要平面 図形 難問

  1. mizun hide says:

    話がある早すぎる、小学生を相手に一つ一つ式を書きながら説明お願いします。

  2. たぽたぽ says:

    高校数学でやろうとしたらややこしい係数の二次方程式解く羽目になった。

  3. SM Choi says:

    Kouno Sensei's solution is undoubtedly brilliant. However, if it is too clever to think about, coordinate geometry helps to solve the problem:

    Let s cm be the length of a square side. Align the diagram with the cm-scaled Cartesian plane by the mapping scheme:
    P → (0,s); Q → (0,0); R → (s,0) & S → (s,s).

    As Q is the midpoint of BC,
    B is at (-u,v) and C is at (u,-v)
    for some u>0 and v>0.

    Let A be at (m,n). As |AR|:|RC| = 9:2,
    s = [2(m)+9(u)]/(9+2) & 0 = [2(n)+9(-v)]/(9+2)
    m = (11s-9u)/2 ···(C1) & n = 9v/2 ···(C2)

    Likewise, as |AP|:|PB| = 7:6,
    0 = [6(m)+7(-u)]/(7+6) & s = [6(n)+7(v)]/(7+6)
    m = 7u/6 ···(C3) & n = (13s-7v)/6 ···(C4)

    By (C1) and (C3),
    (11s-9u)/2 = 7u/6
    u = 33s/34 ···(C5)

    By (C2) and (C4),
    9v/2 = (13s-7v)/6
    v = 13s/34 ···(C6)

    As |RC| = 2,
    (s-u)² + (0+v)² = 2²
    (s – 33s/34)² + (13s/34)² = 2² (by (C5) and (C6))
    s² = 27.2

    Hence the area of square PQRS is 27.2 cm².

  4. proc corry says:

    △PBQと△QCRを辺BQと辺QCでくっつけて、それと多角形APSR(△APRから△PSRをくりぬいた形)を辺PQRと辺PSRでくっつけると、さらに簡単に解けますかね…。
    解くのに8時間かかりましたが😢

  5. Happy Tornado says:

    算数でやるのをあきらめて余弦定理を使ったんですけど、自分の解きかたで解いた人がコメント欄に見当たらなかったので一応残しておきます。ちょっと言葉尻を捕らえるようですが、「ルートは使っていません。」でもまあルール違反かな…

    正方形の一辺の長さをx(cm)とおくと、求める面積はx²である。

    直線AQ上に、AQ=QDとなるような、Aと異なる点Dをおくと、BQ=QCより、四角形ABDCは平行四辺形である。

    さらに、直線BDと直線RQの交点をTとすると、BT=2cmであり、TQ=PQ=RQ、QR⊥PQより、△PTRは直角二等辺三角形である。また、△PTRの面積はx²であり、求める正方形の面積に等しい。

    PT=PR=y(cm)とすると、y²は△PTRの2つ分の面積に相当するから、y²=2x² …… (1)

    ここで、∠PBTをθとする。

    △PBTについて、余弦定理より、

    y² = 2² + 6² – 2・2・6cosθ = 40 – 24cosθ …… (2)

    四角形ABDCは平行四辺形であるから、∠PAR = 180° – ∠PBT = 180° – θ

    よって、cos∠PAR = cos(180° – θ) = -cosθ

    △PARについて、余弦定理より、

    y² = 7² + 9² + 2・7・9cosθ = 130 + 126cosθ …… (3)

    (3) – (2) より、150cosθ + 90 = 0

    cosθ = -0.6

    (2)に代入して、y² = 54.4

    (1)より、2x²=54.4 であるから、

    x²=27.2

    正方形PQRSの面積は27.2cm²である。

  6. 唐揚げの戯れ says:

    やってみたけど解けなかった。同角の面積比を忘れてて、証明するまでやりたくなかったからだけど、この公式って小学生で教えたっけ?なんか算数じゃなくて高校数学ぐらいに感じる

  7. フロギー 450人目標 says:

    解説めっちゃ真面目に聞いてたけど途中でなんも分からんくなった

  8. マ・カヤ says:

    小学生は三角関数習ってないのにどうやって共通の角を持つ三角形は面積比と辺の積の比が同じって納得するんだろう…

  9. ひだ says:

    毎回思ったけど、小学生だからルートを使っては行けない、、、算数オリンピック解ける小学生ってワンチャン微積分も学んだ気がする

  10. 前川忠彦 says:

    残念ながら後半の30㎠が気付けなかった…。また算数オリンピックの良問をお願いします。

  11. どぅわああ1700 says:

    私が志望する大学は数学1、a
    2、bと1つずつ受験することもでき1a、2bと受験することが可能なのですが比較的点が取れやすい分野はありますか?皆さんの意見をお聞きしたいです。

  12. 信裕 says:

    おっさんには、解説聞いても早すぎて理解できなかった。
    小学生って。全員こんな考えで答え出せるんですか?
    天才しか居ないなぁ。

  13. s a says:

    めっちゃ序盤で脱落したどころか、最後答え出ても、あーなるほどねってならなくて悲しい。

  14. Hideyuki Watanabe says:

    ぱっとみで条件が過剰だと思ったので検証してみました。

    0:07 の図でA(0,0), P(7,0), B(13,0)となるように座標を取る。また角BAC=tとし0<t<πとすると、R(9cos(t),9sin(t)), C(11cos(t), 11sin(t)), Q(13/2+(11/2)cos(t), (11/2)sin(t))となる。ベクトルPQ(以下PQ→)およびRQ→は、
    PQ→ = (-1/2+(11/2)cos(t),(11/2)sin(t)),
    RQ→ = (13/2-(7/2)cos(t),-(7/2)sin(t)),
    と表せ、これらの大きさが等しくて直交するから、
    PQ→・RQ→=(15/2)(5cos(t)-3) = 0 (1)
    PQ^2 – RQ^2 = 8(5cos(t)-3) = 0 (2)

    よって cos(t) = 3/5 求める正方形の面積は、PQ^2 = 61/2-(11/2)(3/5) = 136/5 ■

    条件(1)と(2)は同一なので実は、PQRSが正方形という条件でなくても、
    (a)PQRSが長方形である
    (b)PQRSがひし形である
    という条件であっても、PQRSが正方形であることが証明できて面積が求まることが分かります。

    ベクトルは偉大ですね。パズルみたいなことしなくても簡単な計算で解けます。

    追記:(a)(b)で初等幾何で解けないか考えてみましたが全然無理でした。これ、9cmのところを8cmに変えても動画の通り初等幾何的に「解けて」しまって面積も求まってしまうんですよね。しかし、その場合(1)(2)式が変化してそれを満たすcos(t)の値が異なるので同時には満たせなくなり、正方形が内接し得なくなって「図が成立しない」が答になってしまいます。したがって初等幾何的に問題図が成立することを証明するのは相当困難なので、例えば、AR=9cmは条件にせずに「実はAR=9cmとなることが知られていて、このことを利用しても良い」のような問題文にすると良いのかもしれません。

    ちなみにARを未知数(x)とした場合、R(x cos(t), x sin(t)), C((x+2)cos(t), (x+2)sin(t)), Q(13/2+(x/2+1)cos(t), (x/2+1)sin(t)), PQ→=(-1/2+(x/2+1)cos(t),(x/2+1)sin(t)), RQ→=(13/2+(1-x/2)cos(t),(1-x/2)sin(t))となって(1)(2)の式は
    PQ→・RQ→ = (1/4) ((14x+24)cos(t) – (x^2+9)) = 0
    PQ^2-RQ^2 = 2((3x-7)cos(t) + x-21) = 0
    となり、これを連立させて
    cos(t) = (x^2+9)/(14x+24) = (21-x)/(3x-7)
    (3x+7)(x+9)(x-9)=0 x>0 より x=9
    となってAR=9cmが求まります。

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