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方程式 解と係数の関係
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41 thoughts on “方程式 解と係数の関係 | 解 と 係数 の 関係 問題に関する知識の概要

  1. MAKOTO KONDO says:

    α∧2=2β を使って次数を下げていくと、、、2∧98(α∧2+β∧2)まで次数を下げられ、
    あとはフィニッシュまで。

  2. Yuyo says:

    ωに気づけた迄はよかったけど、最初のゴリ押し以外が思いつかなくて、やりたくなかったから見にきましたが、複素平面がここで出てくるんですね、、、
    素晴らしい!

  3. Home & Family says:

    x^3-8の因数分解の片割れというのは気付ける人は気付けるんだろうけど。。二つの虚数解の和をどうするか。。
    漸化式以降で詰まった。。。。。。99乗ねー!!!そういうことか。。。

  4. ジョン永遠 says:

    実係数の2次方程式が虚数解αをもつならばもう一方はその共役だからβ=bar(α)
    α^n+β^n=α^n+bar(α^n)=2Re(α^n)(実数)あとはαを極形式で書きド・モアブル

  5. xyz 改め parasuicide mania type 00ZE-XY says:

    これは漸化式つくって一般項を求めるのができなかった。
    (できなくもないが複素数入りのになるのでしょう。)
    実際に x^2 + 2x +4 = 0 を解いて解の形から極形式だろうと思い、ド・モアブルで片づけました。
    でも最後、あやうく引っかかるところでした。
    α^100 + β^100 ≠ 2^100 (α + β)。
    ちゃんと計算しなさいってことでしょう。
    θ = (2/3)π として
    α^100 + β^100
    = 2^100 ( cos (θ) + i sin (θ) ) + 2^100 ( cos (-θ) + i sin (-θ) )
    = (2^100) × (-1/2) + (2^100) × (-1/2)
    = – 2^100

    解いていて楽しかったです。

  6. ケンチャンネル says:

    何乗かする上で、どこが周期的に相殺されるだろうと思い、オイラーの公式が使える事に気付き、そのままオイラーの公式で解けた。

  7. 京谷良和 says:

    2の100乗なんてどうやって計算するんだ・・・
    と思ってたら別にそのままで良かったんですね。
    これが10乗ぐらいまでだったら-2^10じゃなくて-1024と回答していたので。

  8. miracle mint says:

    因数分解を記憶していなくても、x^3+2x^2+4x=0より、x^3=-2(-2x-4)-4x=8となる事から推定すれば楽勝✨

  9. Hirosh Tateishi says:

    半世紀前に受験生をしていて、今はワクチンの優先接種対象のじじいです。詰め将棋の流れでこちらに来ました。問題を拝見して、暗算で答えがでてしまったのですが、どこか変でしょうか。1.方程式の解は-1±√3iなので、2×(cos(2π/3)±sin(2π/3)i)と変形できる。2.100乗すると、2^100×(cos(200π/3)±sin(200π/3)i)。3.三角関数の中を整理して加えると、2^100×(2×cos(2π/3))=-2^100。

  10. 大本剛 says:

    私は一目見て、「x=2t」と置き換えて単位円に乗せたいな、と思いました。
    t^2+t+1=0となれば見たことがある問題になりますからね。

  11. COS COS says:

    これはもう基本的な問題でも超良問だと思います!複素数問題のエキスが詰まっています

    最初のと後半の100乗貫太郎さんのスキル目から鱗  でも忘れない様にします😃

    反復 反復 です

  12. 中村ヒナタ says:

    漸化式からα^n+β^nの一般項を出せたから極形式で表して求めれた!

  13. COS COS says:

    こんな良問題よく創作できますよ。驚きます 難関大学いつかにパクられそう…

  14. FAR Tea says:

    絶対自力で解いてやるー、と、半日ぼんやり仕事しながら考えて、x^3=8に気付きましたw すぐ気づけるようになりたいので日々頑張ります。

  15. 176 nerimar says:

    与式に(x-2)をかけたらx^3=8になることに気付くのに10分くらいかかった。

  16. ハト麦 says:

    an=2^(n+1) • e^(inπ) • cos(nπ/3) を予想して帰納法で解くという遠回りな方法で解きました…D<0なら解のべき乗は独立して求めて足した方が楽ってのは勉強になりました。

  17. かめやまむー says:

    三乗根ならxー2を掛けたくなるとはどういう事でしょうか。 だれか数学強いひと教えてくださいm(*_ _)m

  18. a says:

    α^2+2α+4=0からα^2=-2α-4 α^3=-2α^2-4α=8よって、α^100+β^100=8^33・α+8^33・β=8^33(α+β)=2^99・(-2)=-2^100

  19. Jeffrey Lin says:

    I don't understand Japanese, but math is a universal language. A more direct approach,
    alpha = -1 +sqrt(3)/2 i = 2 [(cos 2pi/3) + i sin(2pi/3)]
    beta = -1 – sqrt(3)/2 i = 2 [(cos 4pi/3) + i sin(4pi/3)]

    alpha^100 = 2^100 [(cos 200pi/3 ) + i sin(200pi/3)] = 2^100 [(cos 2pi/3 ) + i sin(2pi/3)]
    beta^100 = 2^100 [(cos 400pi/3 ) + i sin(400pi/3)] = 2^100 [(cos 4pi/3 ) + i sin(4pi/3)]

    alpha^100 + beta^100 = 2^100 [cos(2pi/3) + cos(4pi/3] = 2^100 * (-1) = – 2^100

  20. どんとんとん says:

    いや、難しいわ!
    視聴者さん頭良すぎないか?笑
    俺も学校では1位だけどこのコメント欄だったら平均以下だな、、
    頑張ります

  21. Tsushima Ishida says:

    一般に、自然数nの3乗根のうちの2つの虚数根を解に持つ方程式は、
    x^2 + nx + n^2 = 0
    という形をしていて、その虚数根は、複素平面表示だとn/2 * (-1 ± √3i) (= n * ω, n * ω^2)
    極座標表示だとn * (cos 2/3 π + i sin 2/3 π)とn * (cos 4/3 π + i sin 4/3 π)
    という形をしているということですね。
    まあ、虚数根の形は当然ですけども。
    これを知っていれば、さり気なく出された2次方程式の形からこんなエレガントな解法が得られるとは。
    16年前に高校で学んだ1の3乗根の話題の派生で、ここまで興奮するとは思いませんでした。そんなきっかけを下さったこの問題に感謝します。
    途中からαとβを極座標表示してドモアブルの定理に持っていって解答を得られましたが、そっちもなかなかに痛快でした。

    ちなみに、1(とかi)のn乗根を求める連日の問題で、ようやく組み立て除法が馴染んできました。

  22. scientia disce says:

    こんばんは。
    複素数になり、どのように処理すれば良いのかわからなかったのですが、とても美しい解法に驚きました。
    しっかり復習しておきます。
    ところで、与えられた2次方程式が、
    x^2+2x+4=0とx^2以外の項の係数が、
    x^2+x+1=0の2倍になっているのは偶々なのでしょうか?それとも、必然性があるのでしょうか?ご教示いただけましたら幸いです。

  23. ししゃも says:

    脳死で漸化式使って解いたわ
    コメ欄読んでいろんな解法あっておもろいな

  24. j- true says:

    自分なりに解いてみて答えがあっていたので書いておきます。
    タマタマだったらご指摘ください。
    与式より
    α+β=-2
    αβ=4
    (α+β)^100=α^100+α^99β+……+αβ^99+β^100
    右辺より
    α^100+β^100=-αβ(α^98+α^97β+……+αβ^97+β^98)
          =αβ(α+β)^98
    よって
    α^(n+2)+β^(n+2)=-αβ(α+β)^n
    より
    α^100+β^100=-4×(-2)^98
          =-2^100
    いかがでしょうか?

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